卡方检验 + 秩和检验 · 补充讲解

📙 第二档：卡方+秩和难点突破 | 来源：第 15 章第 44-54 页 + 第 8 章《秩和检验》课件 · 蒋兆强

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〇、卡方检验（χ² 检验）— 第 15 章第 44-49 页

基本思想（一句话）

χ²（卡方）值反映的是实际频数和理论频数的偏离程度。偏得越大 → χ² 越大 → P 越小 → 差异越显著。

假设检验三步

1. H₀：各组总体率（或构成比）相同

   H₁：各组总体率（或构成比）不同

   α = 0.05



2. 计算 χ² 统计量



3. 根据 P 值得出结论

   P < 0.05 → 差异有统计学意义

   P ≥ 0.05 → 差异无统计学意义

⭐ 四格表 χ² 检验 — 公式怎么选（必背）

课件原图（第 47 页）：

四格表χ²公式选择条件：原文此处为课件截图，公开站已省略图片引用。

T = 理论频数（每个格子的期望值 = 行合计 × 列合计 / 总合计）

n = 总样本量

⚠️ 连续性校正只用于四格表（自由度 ν = 1）。R×C 表（自由度 ν ≥ 2）不校正！

⭐ 配对四格表 χ² 检验（McNemar 检验）

课件原图（第 48 页）：

配对设计卡方检验公式：原文此处为课件截图，公开站已省略图片引用。

同一研究对象用两种方法检测，或同一组人前后比较

配对四格表长这样：

只看 b 和 c（不一致的那两个格子）：

⭐ R×C 表卡方检验（行×列表）— 注意事项

课件原图（第 49 页）：

R×C表χ²检验注意事项：原文此处为课件截图，公开站已省略图片引用。

用于多组率或构成比的比较（如 3 组以上、3 种以上分类）。

三个注意事项（考试爱考）：

1. 理论频数 T 不能太小

• T < 5 的格子数不能超过总格子数的 1/5
• 不能有 T < 1 的格子
• 解决办法：合并行/列、删除行/列、改用 Fisher 确切概率法

1. 拒绝 H₀ 只能说「不全相等」

• χ² 有意义 → 各组率不全相等
• 不能说「每两组之间都不同」→ 要做两两比较才知道

1. 单向有序资料（等级资料）不能用 χ²

• 比如疗效（控制 > 显效 > 有效 > 无效）→ 用秩和检验
• χ² 检验会丢失等级顺序信息

⭐ 定性变量假设检验方法汇总表（第 53 页，必背）

课件原图（第 53 页）：

定性变量假设检验方法汇总表：原文此处为课件截图，公开站已省略图片引用。

〇.五、秩和检验的适用条件与优缺点 — 第 15 章第 50-52 页

什么时候必须用秩和检验？（三种情况）

秩和检验的优缺点

大白话：能用 t 检验就用 t 检验（更灵敏），用不了才用秩和检验（更保险）。

两独立样本秩和检验计算步骤（第 52 页提纲）

1. 两组数据混合编秩，求各组秩和

   → 遇到相同值在不同组 → 取平均秩



2. 取样本量较小那组的秩和 T 做检验



3. 判断方法：

   较小组 n ≤ 10 → 查表法

   较小组 n > 10 → 正态近似法（算 Z 值）



4. 获得 P 值，判断 H₀ 是否成立

🧭 秩和检验 = 非参数检验 = 不需要正态分布的检验

先搞清楚两个词：

什么时候必须用秩和检验？

1. 数据不正态、方差不齐（小样本时）
2. 数据有一端或两端是不确定值的（比如「> 100」这种）→ 必选秩和检验
3. 数据是等级资料（有序分类，如：控制 > 显效 > 有效 > 无效）

一、「秩」到底是什么？（用人话讲）

「秩」就是排名。

举个例子：A 班和 B 班各 4 个人的成绩：

第一步：把 8 个人的成绩混在一起从小到大排名：

第二步：把各班的排名（秩）加起来：

• A 班秩和 = 3 + 5 + 6 + 8 = 22（排名靠后 → 成绩更好）
• B 班秩和 = 1 + 2 + 4 + 7 = 14（排名靠前 → 成绩较差）

第三步：用秩和判断 — 如果两组没差异，秩和应该差不多。差太大 → 说明有区别。

核心思想：不比原始数据大小，只比排名。这样就不管数据分不分正态了。

二、两独立样本秩和检验 — 完整步骤

第 15 章提到了，但没讲具体怎么做。这里补全。

适用条件

• 两组独立样本
• 定量资料不正态/方差不齐，或等级资料

步骤

1. 建立假设

   H₀：两组总体分布位置相同

   H₁：两组总体分布位置不同

   α = 0.05



2. 混合编秩

   两组数据混在一起，从小到大排名

   遇到相同值 → 取平均秩（如并列第 4、5 名 → 都算 4.5）



3. 求检验统计量 T

   取样本量较小那组的秩和作为 T



4. 判断 P 值

   ┌ 较小组 n ≤ 10 → 查 T 界值表

   │   T 在界值范围外 → P < 0.05 → 拒绝 H₀

   │   T 在界值范围内 → P > 0.05 → 不拒绝 H₀

   └ 较小组 n > 10  → 用正态近似法（算 Z 值）

       Z ≥ 1.96 → P < 0.05

       Z < 1.96 → P > 0.05

SPSS 里这个表长什么样？

就是第 15 章课件第 78 页那个表（之前讲过的）：

                        年龄        甘油三酯

Mann-Whitney U         496.000      938.000     ← 统计量

Wilcoxon W            1721.000     2163.000     ← 秩和

Z                      -4.911       -1.717      ← Z 值

Asymp. Sig.(2-tailed)   .000         .086       ← P 值（看这行！）

只看最后一行 Asymp. Sig.（P 值），跟 0.05 比就行。

三、配对设计的符号秩和检验 ⭐ 第 15 章没讲

对应参数检验里的「配对 t 检验」。当差值不正态时用这个。

适用条件

• 配对设计（同一对象前后 / 同一样品两方法 / 异源配对）
• 差值 d 不服从正态分布

和配对 t 检验的区别

步骤（用课件上的砷含量测定例题）

甲乙两种方法测 9 处水源的砷含量，差值不正态：

1. 建立假设

   H₀：差值的总体中位数 M_d = 0（两种方法结果无差别）

   H₁：M_d ≠ 0

   α = 0.05



2. 算差值 d = 甲法 − 乙法

   把 d = 0 的对子丢掉，有效对子数 n 相应减少



3. 按差值的绝对值 |d| 从小到大编秩

   ⚠️ 注意：是对 |d|（绝对值）编秩，不是对原始数据编秩



4. 把秩分成正组和负组

   d 为正的 → 正秩和 T⁺

   d 为负的 → 负秩和 T⁻

   （核对：T⁺ + T⁻ = n(n+1)/2）



5. 取 T⁺ 或 T⁻ 中较小的那个作为检验统计量 T



6. 判断

   n ≤ 50 → 查 Wilcoxon 符号秩和检验 T 界值表

   n > 50 → 正态近似法

课件例题的计算过程

• 编号 4 的差值 = 0 → 丢掉，有效对子数 n = 8
• 编号 2 和 3 的 |d| 都是 0.020 → 并列 → 取平均秩 = (4+5)/2 = 4.5
• T = min(T⁺, T⁻) = min(18.5, 17.5) = 17.5
• 查表 n = 8 → T₀.₀₅ = 4
• T = 17.5 > 4 → T 在界值范围内 → P > 0.05 → 差异无统计学意义

四、多组独立样本秩和检验（Kruskal-Wallis H 检验）⭐ 第 15 章没讲

对应参数检验里的「方差分析」。当多组数据不正态/方差不齐时用这个。

适用条件

• 三组及以上的独立样本
• 定量资料不正态/方差不齐，或等级资料

和方差分析的对比

步骤

1. 建立假设

   H₀：k 组总体分布位置均相同

   H₁：k 组总体分布位置不全相同

   α = 0.05



2. 全部数据混合编秩，求各组秩和



3. 计算 H 值

   H = [12 / N(N+1)] × Σ(Tᵢ² / nᵢ) − 3(N+1)

   

   其中 N = 总例数，k = 组数，nᵢ = 第 i 组例数，Tᵢ = 第 i 组秩和

   

   如果相同秩次太多（超过 25%），需要校正：Hc = H / C



4. H 近似服从 χ²(ν = k−1) 分布

   查 χ² 界值表：

   H ≥ χ²₀.₀₅ → P < 0.05 → 拒绝 H₀ → 各组分布不全相同

   

5. 如果 H 检验有统计学意义 → 做两两比较（多重比较）

考试遇到了怎么写？

三组及以上、不正态的定量数据或等级资料 → 写 Kruskal-Wallis H 检验

H 检验结果有意义时 → 进一步做两两比较

不需要你手算！考试要么告诉你 H 值和 P 值，要么让你在 SPSS 里操作。

五、等级资料的秩和检验 — 就是综合练习例 6 ⭐

第 15 章没展开，但这是考试错误率最高的考点。

等级资料（有序分类）的比较，必须用秩和检验，不能用 χ² 检验！

为什么不能用 χ² 检验？

用课件原话讲：

χ² 检验只比较「构成比有没有差别」（各格子频数和期望是否一致），

它不知道「控制 > 显效 > 有效 > 无效」这个等级顺序。

秩和检验会给数据「排序」的信息，能检测出等级强度的差异。

举例（综合练习例 6）：

• 看起来像 R×C 表 → 很多人条件反射选 χ² → 错！
• 疗效有等级顺序（控制 > 显效 > 有效 > 无效）→ 单向有序资料 → 秩和检验

等级资料编秩的方法

和定量资料不同，等级资料的编秩要按每个等级的合计人数来算平均秩次：

然后用平均秩次 × 每组该等级的人数 → 求各组秩和 → 做秩和检验

📊 全景汇总：什么时候用哪种秩和检验？

考试判断口诀

数据不正态 → 秩和检验

等级资料   → 秩和检验（不是 χ²！）

不确定值   → 秩和检验（必选）



两组  → Wilcoxon 秩和检验（Mann-Whitney U）

配对  → Wilcoxon 符号秩和检验

多组  → Kruskal-Wallis H 检验